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Le mot ensemble désigne alors le lundi existentiel PDF objet du domaine de cette théorie, dont les axiomes régissent les propriétés. Mais la notion d’ensemble est aussi une notion de base qui intervient dans à peu près tous les domaines des mathématiques. Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d’ensemble, c’est la relation d’appartenance : un élément appartient à un ensemble.


Ce sont les propriétés de cette relation que Zermelo, puis d’autres, ont axiomatisées en théorie des ensembles. L’objet de cet article est de donner une approche intuitive de la notion d’ensemble, telle qu’elle est indiquée dans l’article théorie naïve des ensembles. Un ensemble peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. On donne donc volontiers des exemples d’ensembles en dehors du monde mathématique. Ces deux derniers ensembles sont infinis, ils ont une infinité d’éléments. Pour Peano  x ε A  se lit  x est un A , par exemple  x ε N  se lit  x est un entier positif ou nul. Dire quand deux objets sont égaux, c’est-à-dire quand deux expressions désignent en fait le même objet, c’est donc donner une information sur ce que sont ces objets.

Deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont bien identiques : tout ce qui peut être dit de l’un peut être dit de l’autre. Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. Par contre, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu. Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments.

Quand un ensemble est fini, il est donc possible de le définir en donnant la liste de ses éléments, que l’on note traditionnellement entre accolades. Mais on ne peut procéder ainsi en toute généralité, on ne pourrait définir ainsi un ensemble infini. 2 ou à 3 ou à 5. Quand on parle d’ensembles finis, c’est en un sens intuitif, sans avoir vraiment défini cette notion. Un ensemble est fini quand on peut compter ses éléments à l’aide d’entiers tous plus petits qu’un entier donné. La notation d’un ensemble en extension n’est pas unique : un même ensemble peut être noté en extension de façon différentes.

On pourrait imposer que la notation se fasse sans répétitions, ce serait assez malcommode dès qu’interviennent des variables : on ne pourrait noter un ensemble en extension sans devoir supposer que ses éléments sont distincts. Les ensembles réduits à un seul élément sont appelés singletons. Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu’on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d’un ensemble donné. Ainsi l’ensemble des entiers naturels pairs est clairement défini en compréhension, par la propriété  être pair  parmi les entiers naturels. Cette construction a besoin d’un ensemble déjà existant E et d’une propriété P définie sur tous les éléments de E.